Yapay Zekâ için Matematik · Ünite 1
Giriş ve Temel Matematiksel Kavramlar
1. Matematik yapay zekânın neresinde?
Yüz tanıma, ürün önerisi, varış süresi tahmini, spam filtresi… Hepsinin ortak noktası: sonuca sayılar üzerinde yapılan işlemlerle ulaşıyorlar. Makinenin düşünmesi sorusunu 1950'de Turing, Türkiye'de de 1958-59'da Cahit Arf «Makine düşünebilir mi?» konferansıyla matematiksel açıdan tartıştı.
Bir YZ modelinin temel işi: veriye dayanarak, belirsizlik altında karar vermek. İki sayıyı toplamak için YZ gerekmez, çünkü kuralı belli. YZ, kuralın yazılamadığı, verinin eksik ya da gürültülü olduğu yerlerde devreye girer.
Bir modelin yaşam döngüsü
Dört yapı taşı
- →Veri: her şeyin başlangıcı, modelin hammaddesi.
- →Model: girdi ile çıktı arasındaki ilişkinin matematiksel ifadesi. f(x; θ) diye yazılır: x girdiler, θ (teta) parametreler.
- →Algoritma: parametrelerin veriden nasıl bulunacağını belirleyen yöntem.
- →Tahmin: eğitilmiş modelin yeni bir gözlem için ürettiği sonuç.
Veri: yapısal mı, değil mi?
| Yapısal veri | Yapısal olmayan veri | |
|---|---|---|
| Biçim | Satır–sütun tablosu | Tabloya doğrudan sığmaz |
| Örnek | Satış tablosu: ürün, adet, fiyat, tarih | Metin, fotoğraf, ses, video, e-posta |
| Modele girmeden | Zaten sayısal düzende | Önce sayıya çevrilmeli |
Tabloda satırlar gözlem (tek tek kayıtlar), sütunlar değişken. Modelin kullandığı sütunlara girdi değişkeni / öznitelik (bağımsız değişken), tahmin etmeye çalıştığı sütuna hedef değişken (bağımlı değişken) denir. Ev fiyatı tahmininde alan, oda sayısı, bina yaşı öznitelik; fiyat hedeftir.
Doğru cevapların da verildiği bu öğrenme biçimine gözetimli öğrenme denir.
Model: ağırlıklı toplam
En basit model doğrusal model: ŷ = w₁x₁ + w₂x₂ + … + wₙxₙ + b. Her özelliğe bir ağırlık (w) verilir, sonuna sabit terim (b) eklenir. Ağırlıklar değişirse aynı yapı farklı sonuç üretir.
- →Çıktı ayrık bir karar ise (kedi / köpek / araba) → sınıflandırma.
- →Çıktı sürekli bir sayı ise (ev fiyatı, yakıt tüketimi, sınav puanı) → regresyon.
Aynı problem doğrusal model, karar ağacı ya da yapay sinir ağıyla çözülebilir. Hangisinin kullanılacağına karar vermeye model seçimi denir.
Algoritma: hata küçülene kadar tekrar
- →Parametrelere başlangıç değeri ver.
- →Eğitim verisinde tahmin üret, gerçekle karşılaştır, hatayı hesapla.
- →Parametreleri hatayı azaltacak yönde güncelle.
- →Hata yeterince küçülene ya da durdurma koşulu sağlanana kadar tekrarla.
Yani öğrenmek = hatayı en küçük yapan parametreleri aramak; bu bir optimizasyon problemi. Hangi yöne gidileceğini türev ve gradyan söyler. Belirsizliği sayıyla anlatmak için olasılık («%80 kedi, %20 köpek»), modelin ne kadar güvenilir olduğunu ölçmek için istatistik kullanılır.
Tahmin ve genelleme
Asıl başarı, modelin daha önce görmediği verilerde de doğru sonuç vermesi; buna genelleme denir. Eğitim verisinde mükemmel, yeni veride kötü olan model ezber yapmıştır: aşırı uyum. Bunu ölçmek için veri eğitim ve test diye ikiye ayrılır; test verisi eğitimde hiç kullanılmaz.
2. Veriyi sayıya çevirmek
Bilgisayar fotoğrafı görmez, sesi duymaz; sadece sayı işler. En dipte her şey bit (0 ya da 1) dizisidir. Bu yüzden her veri modele girmeden önce sayısal bir yapıya çevrilmeli. Nasıl çevrildiği de önemli: hangi bilginin korunacağını ve modelin neyi öğrenebileceğini belirler.
| Veri türü | Yöntem | Sonuç |
|---|---|---|
| Kategori (renk, şehir) | Bire-bir (one-hot) kodlama | [0, 0, 1] gibi vektör |
| Metin | Belirteçlere ayırma + kelime gömme | Her kelime için sayı vektörü |
| Görüntü | Piksel değerleri | Satır × sütun sayı matrisi |
| Ses | Örnekleme + nicemleme | Sıralı sayı dizisi |
Kategoriler: bire-bir kodlama
Her kategoriye bir sütun açılır; ait olduğu sütuna 1, diğerlerine 0 yazılır. Şehir değişkeni İzmir, Bursa, Konya ise: İzmir (1, 0, 0), Bursa (0, 1, 0), Konya (0, 0, 1).
Metin, görüntü, ses
- →Metin: önce kelime, alt kelime ya da karakter parçalarına (belirteç / token) ayrılır. Her kelimeye bir numara vermek anlamı taşımaz. Kelime gömme her kelimeyi bir vektörle gösterir; anlamca yakın kelimeler (çay–kahve) birbirine, uzak olanlardan (çay–tornavida) daha yakın durur.
- →Görüntü: küçük noktalardan (piksel) oluşur. 8 bitlik gri tonlu resimde her piksel 0 (siyah) ile 255 (beyaz) arası bir sayı. Renkli (RGB) resimde her piksel üç sayı: kırmızı, yeşil, mavi.
- →Ses: sürekli bir dalga. Belli aralıklarla ölçüm alınır (örnekleme); saniyedeki ölçüm sayısı örnekleme hızı (hertz). Her ölçümün sınırlı düzeylerden birine yuvarlanması nicemleme; hassasiyeti bit derinliği belirler.
Vektör, matris ve iç çarpım
Tek bir gözlemin özellikleri yan yana → vektör. Birçok gözlemin vektörleri alt alta → matris (satır = gözlem, sütun = özellik).
Özellik vektörüyle parametre vektörünün karşılıklı elemanlarını çarpıp toplamaya iç çarpım denir. Örnek: bir telefonun pil ömrü (saat), ekran boyu x₁ = 6 inç ve batarya x₂ = 5000 mAh ile tahmin edilsin; parametreler θ = (−1 ; 0,005).
ŷ = (−1) · 6 + 0,005 · 5000 = −6 + 25 = 19 saat. Yüz telefon için tek tek hesaplamak yerine hepsi bir matrise konur ve tek bir matris işlemiyle bütün tahminler birden bulunur.
3. Sayı kümeleri
- →Doğal sayılar (ℕ): 1, 2, 3… Bilgisayarda sayma genelde 0'dan başlar, bu yüzden ℕ₀ = {0, 1, 2…} sık kullanılır (ilk örnek «0. örnek»).
- →Tam sayılar (ℤ): …, −2, −1, 0, 1, 2, …
- →Rasyonel sayılar (ℚ): p/q biçiminde yazılabilenler (p, q tam sayı, q ≠ 0). Her tam sayı rasyoneldir: 7 = 7/1.
- →İrrasyonel sayılar: kesir olarak yazılamayanlar: √2, π, e.
- →Reel sayılar (ℝ): rasyonel + irrasyonel. Model parametreleri, olasılıklar, ölçümler hep reel sayı.
- →Karmaşık sayılar (ℂ): ℝ'yi de kapsar; sinyal işleme gibi ileri konularda gerekir.
Ondalık gösterimden tanımak
| Ondalık açılım | Örnek | Tür |
|---|---|---|
| Sonlu | 2/5 = 0,4 | Rasyonel |
| Devirli (bir blok tekrar eder) | 1/11 = 0,0909… | Rasyonel |
| Ne biter ne tekrar eder | π = 3,14159… | İrrasyonel |
Sayı doğrusu ve karar eşiği
Sayı doğrusunda solda kalan sayı küçüktür (<, >, ≤, ≥). YZ'de bunun karşılığı karar eşiği: model olasılık ≥ 0,5 ise «evet», değilse «hayır» der. Eşiği değiştirmek, kararları doğrudan değiştirir.
Toplama ve çarpmanın kuralları
| Özellik | Toplama | Çarpma |
|---|---|---|
| Değişme | a + b = b + a | a · b = b · a |
| Birleşme | (a + b) + c = a + (b + c) | (a · b) · c = a · (b · c) |
| Etkisiz eleman | a + 0 = a | a · 1 = a |
| Ters eleman | a + (−a) = 0 | a · (1/a) = 1, a ≠ 0 |
| Dağılma | a · (b + c) = a · b + a · c |
Aralık gösterimi
| Tür | Gösterim | Anlamı |
|---|---|---|
| Açık | (a, b) | a < x < b — uçlar dahil değil |
| Kapalı | [a, b] | a ≤ x ≤ b — uçlar dahil |
| Yarı açık | [a, b) ya da (a, b] | Bir uç dahil, diğeri değil |
| Sınırsız | [a, ∞), (−∞, b) | ∞ tarafı hep parantez, asla dahil değil |
- →Olasılık her zaman [0, 1] kapalı aralığında.
- →Ölçekleme sonrası öznitelikler çoğu zaman [0, 1] ya da [−1, 1].
- →Sigmoid çıktısı (0, 1) açık aralığında: 0 ve 1'e yaklaşır ama hiç ulaşmaz. Tanh çıktısı (−1, 1).
4. Temel işlemler
İşaret kuralları ve sıfır
- →Çarpma / bölme: aynı işaret → +, farklı işaret → −.
- →Toplama: aynı işaretliler toplanır, işaret korunur; farklı işaretlilerde büyükten küçük çıkarılır, büyüğün işareti alınır. a − b = a + (−b).
- →0 / a = 0 (a ≠ 0), ama a / 0 tanımsız. Bir başarı ölçütünün paydası 0 olabiliyorsa program bunu önceden kontrol etmeli.
İşlem önceliği
Sıra: parantez → üs → çarpma/bölme (soldan sağa) → toplama/çıkarma (soldan sağa). Örnek: 5 + 2 · 3 = 11 (17 değil); (5 + 2) · 3 = 21.
Daha uzun bir örnek: 18 − 2 · (7 − 4) + 12 / 4 → parantez: 3 → çarpma ve bölme: 6 ve 3 → 18 − 6 + 3 = 15.
Kesirler
- →Toplama: a/b + c/d = (ad + bc) / bd — önce payda eşitlenir.
- →Çarpma: pay paya, payda paydaya: a/b · c/d = ac / bd.
- →Bölme: ikinci kesir ters çevrilip çarpılır: a/b : c/d = a/b · d/c.
- →Sadeleştirmek değeri değiştirmez. YZ'de kesirler genelde ondalığa çevrilir: doğruluk 3/5 → 0,6.
Bir modelin tahmini aslında sadece bu kurallardır. Özellikler 4 ve 10, parametreler 0,5 ve −0,3, sabit terim 2 ise: ŷ = 0,5 · 4 + (−0,3) · 10 + 2 = 2 − 3 + 2 = 1.
Mutlak değer ve hata
Mutlak değer |x|, sayının sıfıra uzaklığı; asla negatif olmaz: |4| = 4, |−4| = 4. YZ'de mutlak hata = |y − ŷ| (gerçek eksi tahmin). Tahmin fazla da olsa eksik de olsa hatanın sadece büyüklüğüne bakar; böylece artı ve eksi hatalar toplanırken birbirini götürmez.
Örnek: gerçek fiyat 850.000 ₺, tahmin 900.000 ₺ → |850.000 − 900.000| = 50.000 ₺.
| Ne? | Hangi küme? |
|---|---|
| Örnek sırası (indeks), piksel değeri, sınıf etiketi, tur sayısı | Tam sayı |
| Parametreler, öğrenme oranı, olasılıklar, sıcaklık gibi ölçümler | Reel sayı |
| Renk, şehir gibi kategoriler | Önce sayısal koda çevrilir |
Parametrelerin reel olması şart, çünkü gradyan inişi onları minik adımlarla kaydırarak hatayı azaltır; bunun için değerlerin sürekli bir kümede olması gerekir.
5. Üslü ifadeler
aⁿ: a sayısını n kez kendisiyle çarp. a taban, n üs (kuvvet). 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
- →a¹ = a
- →a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- →a⁻ⁿ = 1 / aⁿ → 10⁻² = 1/100 = 0,01
| Kural | Formül | Örnek |
|---|---|---|
| Aynı tabanlı çarpım | aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 3² · 3³ = 3⁵ |
| Aynı tabanlı bölüm | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 7⁵ / 7³ = 7² |
| Üssün üssü | (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ | (2³)² = 2⁶ |
| Çarpımın üssü | (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ | (3 · 4)² = 9 · 16 |
| Bölümün üssü | (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ | (2/5)² = 4/25 |
Bilimsel gösterim
Çok büyük ya da çok küçük sayılar c · 10ⁿ (1 ≤ c < 10) biçiminde yazılır. 72.000 = 7,2 · 10⁴; 0,0005 = 5 · 10⁻⁴. Üs pozitifse sayı büyük, negatifse küçük. YZ'de öğrenme oranı 10⁻³, örnek sayısı 2,5 · 10⁶ gibi yazılır; programlarda bu 1e-3, 2.5e6 şeklinde görünür.
6. Köklü ifadeler
Kök almak üs almanın tersi: karesi 16 olan pozitif sayı 4 → √16 = 4. n. dereceden kök: n. kuvveti a eden sayı. Kökün içindeki ifadeye kök içi denir.
- →Çift dereceli kökte kök içi negatif olamaz: √(−4) reel sayılarda tanımsız. Sonuç da hep negatif olmayan alınır.
- →Tek dereceli kökte negatif olabilir: ∛(−27) = −3.
- →Kesirli üs ikisini bağlar: a^(1/n) = ⁿ√a, a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ). Böylece kökler için ayrı kural ezberlemeye gerek kalmaz.
| Kural | Örnek |
|---|---|
| √(a · b) = √a · √b | √(4 · 25) = 2 · 5 = 10 |
| √(a / b) = √a / √b | √(9/16) = 3/4 |
| Kökün kökü: ᵐ√(ⁿ√a) = ᵐⁿ√a | √(√81) = ⁴√81 = 3 |
| √(a²) = |a| | √((−5)²) = 5 |
- →Toplamak için önce tam kareleri dışarı çıkar: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2.
- →Bölme: √48 / √3 = √16 = 4.
- →Paydada √a − √b varsa pay ve payda eşlenik (√a + √b) ile çarpılır: (√a)² − (√b)² = a − b. Buna paydayı kökten kurtarmak denir.
YZ'de üs ve kök nerede?
- →Ortalama kare hata (OKH): hataların karelerinin ortalaması. Kare almak işaret sorununu çözer ve büyük hataları daha ağır cezalandırır. Birimi karesi çıktığı için (₺²) karekökü alınarak tekrar ₺'ye döndürülür.
- →Öklid uzaklığı: iki gözlemin ne kadar benzediği. Farkların kareleri toplanır, karekökü alınır; Pisagor'un ta kendisi. Kümeleme ve en yakın komşu yöntemleri buna dayanır.
- →Büyüme hızları: parametre sayısı, veri boyutu 10'un kuvvetleriyle anlatılır; öğrenme oranını her adımda sabit bir oranla küçültmek de üslü bir yapıdır.
Kendini test et!
Cevabı görmek için soruya dokun.
1.Bir müzik uygulaması «bu şarkıyı beğenme olasılığın %85» diyor. Bu belirsizlik hangi matematik alanıyla ifade edilir?
✓ Olasılık.
2.Eğitim verisinde %99 başarılı olan model, test verisinde %60'ta kalıyor. Bu duruma ne denir?
✓ Aşırı uyum: model genel ilişkiyi öğrenmek yerine eğitim örneklerini ezberlemiş.
3.Meyve değişkeni elma, armut, kiraz kategorilerinden oluşuyor. Bire-bir kodlamayla armut nasıl yazılır?
✓ (0, 1, 0).
4.−7, 0, 2/3, √5 ve 4 sayılarından hangisi doğal sayıdır, hangisi irrasyoneldir?
✓ Doğal sayı: 4. İrrasyonel: √5. (−7 ve 0 tam sayı, 2/3 rasyonel.)
5.20 − 4 · (5 − 2) + 9 / 3 işleminin sonucu kaçtır?
✓ Parantez 3 → 4 · 3 = 12 ve 9 / 3 = 3 → 20 − 12 + 3 = 11.
6.0 ≤ x < 1 hangi aralıkla gösterilir?
✓ [0, 1) — yarı açık aralık.
7.(5⁴ · 5²) / 5³ kaçtır?
✓ 5⁶ / 5³ = 5³ = 125.
8.√50 sadeleştirilince ne olur?
✓ √(25 · 2) = 5√2.
9.(2, 3) ve (8, 11) noktaları arasındaki Öklid uzaklığı kaçtır?
✓ Farklar 6 ve 8 → √(36 + 64) = √100 = 10.
Kaynak: Anadolu Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi, «Yapay Zekâ için Matematik» ders kitabı, Ünite 1. Bu not kitabın yerine geçmez; konuyu kendi cümlelerimle, yapay zekâ desteğiyle özetledim.